上一章提到包含类型变量的表达式在检查时可以有一个 forall 的视角：将类型变量保持抽象，将它替换成任意类型都保证这个表达式是 well-typed 的。这样使得同一份代码可以复用。这就是常见的泛型，也就是本章要讨论的 universal types。
Varieties of Polymorphism
允许单一代码片段适用于多种类型的类型系统统称为 polymorphism，其有多种表现形式：
Parametric polymorphism：它允许用类型变量代替具体类型，并在需要时用特定类型进行实例化，并且其所有实例的行为都相同。
- Parametric polymorphism 中最强大的形式是 impredicative polymorphism，或称作 first-class polymorphism，也就是本章介绍的。
- 实践中另一种常见的形式是上一章介绍的 let-polymorphism，其多态性限制在 let-bound 范围内，而不允许函数使用多态类型作为参数。
Ad-hoc polymorphism：它允许一个值在被视作不同的类型时有不同的行为。
最常见的 ad-hoc polymorphism 就是重载（overloading），即同一个函数名可以对应多个不同的实现，编译器根据参数选择实现。将函数重载进行推广，则得到了 multi-method dispatch，其在 \( \lambda_\& \) 中被形式化。
另一种强大的 ad-hoc polymorphism 是 intensional polymorphism。它允许在运行时进行一些受限的类型运算。Intensional polymorphism 是 tag-free garbage collection、unboxed function arguments、polymorphic marshaling、flattened data structures 等高级特性的基础。
还有一种高级的 ad-hoc polymorphism 可以通过
typecase（类似 Java 中的instanceof）实现，它允许在运行时对类型进行任意的模式匹配。
Subtype polymorphism：即前面提到的 subtyping，它允许选择性地忽略部分类型信息（例如将子类型的值看作父类型使用），有时也称为 inclusion polymorphism。
这些多态并非互斥，编程语言可以支持其中的多种形式。
System F
System F 一开始在证明论的背景下被发现，后来又在类型系统中发现了其等价的表述，称为多态 lambda 演算（polymorphic lambda-calculus），其被广泛应用于多态性的研究。由于它在 CH 同构下对应于二阶直觉逻辑，因此也被称为二阶 lambda 演算（second-order lambda-calculus）。在 System F 中不仅会对 terms（individuals）进行量化，也允许对 types（predicates）进行量化。
System F 是对 STLC 的扩展。在 STLC 中允许利用 lambda abstractions 将 terms 从 terms 中抽取成 abstract term，并利用 applications 为 abstract terms 提供值。类似的，需要引入一种新的机制将 types 从 terms 中抽取出来，称作 type abstractions，记为 \( \lambda X. t \)，其参数为类型；并进行回填的机制，称为 type application 或 instantiation，记为 \( t\ [T] \)，同样参数为类型表达式。
以 \( \operatorname{\mathtt{id}} \) 的定义为例：
\[\operatorname{\mathtt{id}} = \lambda X. \lambda x: X. x\]
则 \( \operatorname{\mathtt{id}}\ [\operatorname{\mathtt{Nat}}] = [X \mapsto \operatorname{\mathtt{Nat}}](\lambda x : X. x) = \lambda x : \operatorname{\mathtt{Nat}}. x \)
接下来考虑 type abstractions 的类型。在 STLC 中，函数的类型形如 A -> B。类似的，type abstractions 也可以用箭头表示，其参数为类型，结果取决于具体的 abstractions。例如 \( \operatorname{\mathtt{id}} \) 的类型可以写作 \( \forall X. X \rightarrow X \)，其中参数是类型，结果为 \( X \to X \)。
下面是 System F 的形式化。
Figure 1: Polymorphic lambda-calculus (System F)
类似 STLC，type abstractions 在绑定名字时应当选择上下文中不存在的名字，并且 type abstractions 绑定的变量也可以进行 \( \alpha \)-conversion。目前 type variables 的唯一作用是追踪绑定的作用域，保证类型变量名称不会冲突导致错误替换。而在后面将为其添加更多附加信息，例如 bound qualifications。
Examples
通过下面的例子可以看出 System F 的表达能力比 STLC 更强，但是仍然受限于 normalization property，因此比 UTLC 更弱。
selfApp
在 STLC 中无法写出 \( \lambda x. x\ x \) 的类型，但是它能在 System F 中被写出：
\[ \operatorname{\mathtt{selfApp}} = \lambda x: \forall X. X \to X. x\ [\forall X. X \to X]\ x; \] \[ \operatorname{\mathtt{selfApp}} : (\lambda X. X \to X) \to (\lambda X. X \to X) \]
此处的 \( x\ x \) 中，第一个 \( x \) 的类型是 \( (\forall X. X \to X) \to (\forall X. X \to X) \)，第二个 \( x \) 的类型为 \( \forall X. X \to X \)。
Polymorphic Lists
在 STLC 中首次引入 Lists 时，将其相关的操作作为 primitives，然而在 System F 下它们可以被推广为普通函数：
nil : ∀X. List X
cons : ∀X. X → List X → List X
isnil : ∀X. List X → Bool
head : ∀X. List X → X
tail : ∀X. List X → List X
类似地可以定义 map 函数：
map = λX. λY.
λf : X → Y.
(fix (λm : (List X) → (List Y).
λl: List X.
if isnil [X] l
then nil [Y]
else cons [Y] (f (head [X] l))
(m (tail [X] l))));
Church Encodings
回忆 church encodings 中 booleans 的定义：
tru = λt. λf. t;
fls = λt. λf. f;
可以给出二者共有的类型定义：
CBool = ∀X. X → X → X;
tru = λX. λt: X. λf: X. t;
(** tru : CBool *)
fls = λX. λt: X. λf: X. f;
(** fls : CBool *)
not = λb: CBool. λX. λt: X. λf: X. b [X] f t;
(** not : CBool → CBool *)
对于数字的定义类似：
c0 = λs. λz. z;
c1 = λs. λz. s z;
c2 = λs. λz. s (s z);
c3 = λs. λz. s (s (s z));
对应的 System F 下的类型为：
CNat = ∀X. (X → X) → X → X;
c0 = λX. λs: X → X. λz: X. z;
(** c0 : CNat *)
c1 = λX. λs: X → X. λz: X. s z;
(** c1 : CNat *)
csucc = λn: CNat. λX. λs: X → X. λz: X. s (n [X] s z);
(** csucc : CNat → CNat *)
cplus = λm: CNat. λn: CNat. m [CNat] csucc n;
(** cplus = λm: CNat. λn: CNat. λX. λs: X → X. λz: X. m [X] s (n [X] s z); *)
(** cplus : CNat → CNat → CNat *)
prd2 = λn: CNat. λX. λs: X → X. λz: X.
n [(X → X) → X]
(λg: (X → X) → X. λh: X → X. h (g s))
(λu: X → X. z)
(λu: X. u);
(** prd2 : CNat → CNat *)
Encoding Pairs
Pair F S = ∀P. (F → S → P) → P;
pair = λF. λS. λf: F. λs: S. (λP. λp: F → S → P. p f s);
(** pair : Pair *)
fst = λF. λS. λp: ∀P. (F → S → P) → P. p tru
(** fst : ∀F. ∀S. Pair F S → F *)
snd = λF. λS. λp: ∀P. (F → S → P) → P. p fls;
(** snd : ∀F. ∀S. Pair F S → S *)
Encoding Lists
[a, b] 在 UTLC 中表示为 λc.λn.c a (c b n)。设元素类型为 X 的列表类型为 List X：
List X = ∀R. (X → R → R) → R → R;
其中 c 对应 X → R → R，n 对应 R。则：
nil X = (λR. λc: X → R → R. λn: R. n) as List X;
(** nil X : List X *)
cons X = λh: X. λt: List X.
(λR. λc: X → R → R. λn: R. c h (t [R] c n)) as List X;
(** cons X : X → List X → List X *)
isnil X = λl: List X. l [Bool] (λh: X. λt: Bool. fls) tru;
(** isnil X : List X → Bool *)
接下来需要考虑处理 head。对于空列表执行 head 时，返回的类型也依然应当是 X，这就需要能够构造任意类型的 term。回忆之前通过 diverge 来构造任意类型的 term，为了实现延迟求值，这里利用 Unit 来实现延迟求值：
diverge = λX. λ_: Unit. fix (λx:X. x);
(** diverge : ∀X. Unit → X *)
head X = λl: List X. l [X] (λh: X. λt: X. h) (diverge [X] unit);
(** head X : List X → X *)
然而这个定义的问题是在定义时就会触发 diverge。一个更好的方法是将求值推迟到计算结束，为此可以令函数返回 Unit → X：
head X = λl: List X.
(l [Unit→X] (λh: X. λt: Unit → X. λ_: Unit. hd) (diverge [X]))
unit;
(** head X : List X → X *)
定义 head 的另一种方案是传入一个默认值，这样就不需要引入 fix 了。
为了定义 tail，需要先定义 pair：
Pair X Y = ∀R. (X → Y → R) → R;
pair : ∀X. ∀Y. X → Y → Pair X Y
fst : ∀X. ∀Y. Pair X Y → X
snd : ∀X. ∀Y. Pair X Y → Y
tail X = λl: List X. (fst [List X] [List X]
(l [Pair (List X) (List X)]
(λh: X. λt: Pair (List X) (List X).
pair [List X] [List X]
(snd [List X] [List X] tl)
(cons [X] hd (snd [List X] [List X] tl)))
(pair [List X] [List X] (nil [X]) (nil [X]))))
(** tail X : List X → List X *)
Properties
(Preservation)
If \(\Gamma \vdash t : T\) and \(t \to t’\), then \(\Gamma \vdash t’ : T\).
证明与 STLC 的 preservation 几乎相同。只是对于 E-TappTabs 需要一个类似的额外 lemma：
If \(\Gamma, X, \Delta \vdash t : T\), then \(\Gamma, [X \mapsto S]\Delta \vdash [X \mapsto S]t : [X \mapsto S]T\).
这里额外的上下文 \( \Delta\) 是为了得到更强的归纳假设；如果省略了它，T-Abs 案例将失败。
(Progress)
If \( t \) is a closed, well-typed term, then either \( t \) is a value or else there is some \( t’ \) with \( t \to t’ \).
证明与 STLC 的 progress 几乎相同。但是 canonical forms lemma 需要对新情况进行扩展：
If \( v \) is a value of type \( \forall X.T_{12} \), then \( v = \lambda X.t_{12} \).
用于 type application 的情况。
(Normalization)
Well-typed System F terms are normalizing.
基于 full beta-reduction 的更宽松操作语义的 System F 具有 strong normalization property：every reduction path starting from a well-typed term is guaranteed to terminate.
Erasure, Typability, and Type Reconstruction
类似 STLC，可以定义 System F 上的类型擦出函数 erase：
(erasure)
The erasure of a term \( t \) in System F is defined as follows:
\begin{aligned} & \operatorname{erase}(x) &&= x \\ & \operatorname{erase}(\lambda x : T_1 . t_2) &&= \lambda x. \operatorname{erase} (t_2) \\ & \operatorname{erase}(t_1\ t_2) &&= \operatorname{erase}(t_1)\ \operatorname{erase}(t_2) \\ & \operatorname{erase}(\lambda X. t₂) &&= \operatorname{erase}(t₂) \\ & \operatorname{erase}(t₁\ [T₂]) &&= \operatorname{erase}(t₁) \\ \end{aligned}
如果在 UTLC 下的 term \( M \) 与 System F 下的 well-typed term \( t \) 满足 \( \operatorname{\mathtt{erase}}(t) = m \)，则称 \( t \) 是 typable 的。
System F 的 type reconstruction 问题是 PL 中持续时间最长的问题之一，直到 1990s 初由 Wells 最终解决，并证明是 undecidable 的问题。
(Wells, 1994)
It is undecidable whether, given a closed term \( m \) of the untyped lambda-calculus, there is some well-typed term \( t \) in System F such that \(\operatorname{\mathtt{erase}}(t) = m \).
事实上，对于 System F 不仅是 full type reconstruction 是不可判定的，许多 partial type reconstruction 也是不可判定的。例如下面“只重建 application 中的类型变量”的 \( \operatorname{erase}ₚ \) 也是不可判定的：
\begin{aligned} & \operatorname{erase}ₚ(x) &&= x \\ & \operatorname{erase}ₚ(\lambda x : T_1 . t_2) &&= \lambda x. \operatorname{erase}ₚ (t_2) \\ & \operatorname{erase}ₚ(t_1\ t_2) &&= \operatorname{erase}ₚ(t_1)\ \operatorname{erase}ₚ(t_2) \\ & \operatorname{erase}ₚ(\lambda X. t₂) &&= \lambda X. \operatorname{erase}ₚ(t₂) \\ & \operatorname{erase}ₚ(t₁\ [T₂]) &&= \operatorname{erase}ₚ(t₁)\ [] \\ \end{aligned}
(Boehm 1985, 1989)
It is undecidable whether, given a closed term \( s \) in which type applications are marked but the arguments are omitted, there is some well-typed System F term \( t \) such that \( \operatorname{erase}_p(t) = s \).
Boehm 表明这种形式的 type reconstruction 和 higher-order unification 一样困难，因此也是 undecidable 的。但是这份工作促进了 partial type reconstruction 的发展。并且引发了 first-class existential types 的另一种方法。
事实上，datatype 的 constructors 和 destructors 可以看作显式的类型标注，它们有多个作用，不仅标明了自身所属的 disjoint union types，也标明了 recursive types 需要 fold 和 unfold 的位置，还标明了 existential types 需要packing 和 unpacking 的位置。这一特点被扩展到了 first-class (impredicative) universal quantifiers，经过进一步发展变成了允许程序员显式标注函数参数类型（其中允许使用 universal quantifiers），从而在 ML 和 impredicative sytems 中做了一个折衷。
Erasure and Evaluation Order
前面给出的 System F 操作语义是 type-passing semantics：当多态函数遇到类型参数时，将类型参数替换到函数体中。但是在现实世界的 System F 实现中，这样做可能会带来显著的开销，因为这些类型信息在运行时没有用，不会影响程序的行为。
因此许多语言采用了 type-erasure semantics，即类型擦除。在类型检查阶段之后，类型信息被擦除，只剩下无类型项被用于编译。在某些语言中，casting 等特性需要运行时的类型信息，因此这些语言会尝试在运行时保留一种残留形式的类型信息。
然而在现实世界的编程语言中还可能会带有可变引用、异常等副作用特性，这些特性在类型擦除下可能会影响语言行为，因此需要更加精细的 erase 函数定义。例如在一个 System F 加异常的系统中，let f = (λX.error) in 0; 能够正常求值，而其类型擦除后的结果 let f = error in 0; 会抛出异常。这里 type abstraction 在 call-by-value 下会影响语义行为。
这一点类似于在讨论 let-polymorphism 时副作用影响 generalization 的问题。事实上 generalization 的过程就是为一个 erasure 的 term 加上 type abstraction 的过程，即这是类型擦除的相反过程。而 value restrictions 使得程序在存在副作用的情况下强制执行类型擦除，并仅允许 generalization 发生在 term abstractions 和 value constructors 上，从而确保了 soundness。
我们不希望类型影响到程序的 semantics，因此需要修正这种行为：
\begin{aligned} & \operatorname{erase}ᵥ(x) &&= x \\ & \operatorname{erase}ᵥ(\lambda x : T_1 . t_2) &&= \lambda x. \operatorname{erase}ᵥ (t_2) \\ & \operatorname{erase}ᵥ(t_1\ t_2) &&= \operatorname{erase}ᵥ(t_1)\ \operatorname{erase}ᵥ(t_2) \\ & \operatorname{erase}ᵥ(\lambda X. t₂) &&= \lambda X. \operatorname{erase}ᵥ(t₂) \\ & \operatorname{erase}ᵥ(t₁\ [T₂]) &&= \operatorname{erase}ᵥ(t₁)\ \operatorname{\mathtt{dummy}} \\ \end{aligned}
此处 dummy 是任意 untyped value，使得 type abstraction 在类型擦除后不会延迟求值。并且这样定义的 erase 与求值顺序是可交换的，也就是二者以任意顺序执行都不会影响程序的行为。
If \( \operatorname{\mathtt{erase}}ᵥ(t) = u \), then either:
- both \( t \) and \( u \) are normal forms according to their respective evaluation relations
- \( t \to t’ \) and \( u \to u’ \), with \( \operatorname{\mathtt{erase}}_v(t’) = u’ \)
Fragments of System F
由于 System F 上的 type reconstruction 是不可判定的，因此诞生了许多 System F 的受限分支，它们能更好地处理类型推导问题。
最流行的是 ML-style let-polymorphism，有时也称为 prenex polymorphism。在 prenex-polymorphism 中，类型变量只能是 monotypes（即类型变量不能包含量词 \( \forall \)），并且 polytypes（或称之为 type schemes）不能出现在箭头的左侧（函数参数中）。
System F 另一个分支是 rank-2 polymorphism。将类型表示成一棵树（分叉点在 \( \to \) 上，注意它是右结合的），如果从树根到一个 \( \forall \) 的路径上不会经过大于一次的箭头左侧，则称这个类型是 rank-2 的。例如 \((\forall X.X \to X) \to \operatorname{\mathtt{Nat}}\)、\(\operatorname{\mathtt{Nat}}\to \operatorname{\mathtt{Nat}}\) 和 \(\operatorname{\mathtt{Nat}}\to (\forall X.X\to X)\to \operatorname{\mathtt{Nat}} \to \operatorname{\mathtt{Nat}}\) 都满足条件，但是 \(((\forall X.X\to X)\to \operatorname{\mathtt{Nat}}) \to \operatorname{\mathtt{Nat}}\) 不满足条件。这个系统比 prenex polymorphism 要强大一些，并且能够接受更多的 lambda terms。
rank-2 polymorphism 被证明其 type reconstruction 算法复杂度与 prenex polymorphism 相同，并且 rank-3 或更高阶系统上的 type reconstruction 仍然是 undecidable 的。rank-2 的限制并不局限于量词，可以被推广到其他 type constructors。例如 intersection types 也可以定义类似的限制。System F 上的 rank-2 分支与 first-order intersection type system 密切相关，事实上可以证明它们能接受的 lambda terms 范围是相同的。
此外，函数返回值处的 \( \forall \) 并不影响判定性，因为有逻辑恒等式：
\[ P \to \forall x. Q(x) \iff \forall x. P \to Q(x) \]
说明函数返回值处的 \( \forall \) 可以被移动到头部。
Parametricity
观察前面定义的 CBool：
CBool = ∀X. X → X → X;
tru = λX. λt: X. λf: X. t;
(** tru : CBool *)
fls = λX. λt: X. λf: X. f;
(** fls : CBool *)
可以发现 CBool 的定义与 tru 和 fls 的定义高度对称。其中 \( \forall X \) 与 \( \lambda X \) 相对，\( X \to X \to _ \) 与 \( \lambda t: X. \lambda f: X \) 相对，\( \to X \) 与 \( t / f \) 相对。由于返回值是 \( X \)，因此这里要么返回 \( t \)，要么返回 \( f \)。可以看出多态程序与它们的类型高度相关（尽管可以构建其他 CBool 的 term，但是它们的行为都与 tru 和 fls 等价）。
Parametricity 表明被实例化的多态程序的行为满足某种统一的模式，这种模式与其多态类型有关。从多态类型中就可以观察它被实例化后的各种程序，无论其传入什么类型，函数的行为都是统一的。这正好与 ad-hoc polymorphism 相反，因为后者的行为取决于实例化后的类型，不同类型的参数所执行的行为可能截然不同。
换句话说，给定一个参数化多态类型，倘若将行为一致的实例看成相同实例，那所有实例可以从类型里得到。因此想要在实例集合上做证明，那么可以直接在其多态类型上进行证明。
Parametricity 可以看成 abstraction 的对偶。前者对函数内部实现隐藏了外部世界调用时的具体类型，而后者对外界隐藏了内部实现。
Impredicativity
如果一个定义（例如集合、类型等）中涉及到了一个域是自身的量词，那么称它是 impredicative 的。
System F 的多态是 impredecative 的。例如类型定义 \( T = \forall X. X \to X \) 中 \( X \) 就可以是自身，即定义出 \( T [T] = T \to T \)。而 ML 中的多态是 predicative 的（或 stratified 的），因为它只允许 monotype 作为参数，不允许将包含量词的类型作为参数。
Predicativity 的说法来自于逻辑学。罗素在处理罗素悖论（\( x \) 不是 \( x \) 的成员）时发现，悖论的根源在于 membership 条件中的自指涉，即条件中的 \( x \) 与正在定义的 \( x \) 相同，因此罗素将这种 membership 条件称为 impredicative。罗素认为一个 predicate 确定了一个 class，而 impredicative 的条件不能作为 predicates，它们不能构成一个 class，因此也不允许它成为 class，从而解决了罗素悖论。而后 predicativity 便用于集合论，指那些允许自指涉的定义。