对角线证明
对角线证明最初是由康托提出的，用来证明 \([0, 1]\) 之间的实数是不可数的。证明如下：
假设实数是可数的，那么可以将其列举。对于同一个数字的不同表示，如 \(4.\dot{9}\) 与 \(5\)，选择前者。
将所有的数字列举，排成一列。对于第 \(i\) 个数字，考虑它的第 \(i\) 位。：
\begin{aligned} & r_1 = 0 . \underline{\mathbf{5}} 1 0 5 1 1 0 \dots \\ & r_2 = 0 . 4 \underline{\mathbf{1}} 3 2 0 4 3 \dots \\ & r_3 = 0 . 8 2 \underline{\mathbf{4}} 5 0 2 6 \dots \\ & r_4 = 0 . 2 3 3 \underline{\mathbf{0}} 1 2 6 \dots \\ & r_5 = 0 . 4 1 0 7 \underline{\mathbf{2}} 4 6 \dots \\ & r_6 = 0 . 9 9 3 7 8 \underline{\mathbf{3}} 8 \dots \\ & r_7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 \underline{\mathbf{5}} \dots \\ &\dots \end{aligned}
现在构造一个实数 \(r_k\)，它的第 \(i\) 位与 \(r_i\) 的第 \(i\) 位不同，则 \(r_k = 0.1325921 \dots\)
那么对于任意的 \(r_i\)，\(r_k \ne r_i\)，即 \(r_k\) 不在上面的枚举序列中，因此 \([0, 1]\) 之间的实数不可数。